quantitative stetige Merkmale

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Quantitative, stetige Merkmale.
Bevor wir uns nun einem quantitativen, stetigen Merkmal widmen, verschaffen wir uns zwischendurch einen Ãœberblick.

Fassen wir noch einmal zusammen: Wir haben im ersten Beispiel eine Häufigkeitstabelle für qualitative Merkmalswerte, wie Bier, Cola etc. erstellt.

Im nächsten Beispiel haben wir das Selbe für quantitative Merkmalswerte, wie 1 Glas, 2 Gläser oder 3 Gläser Wein getan.
Ist der Merkmalwert "Getrunkene Gläser" "stetig" oder "diskret", was würdest du sagen?
Er ist "diskret", denn es wird sich immer um endlich oder abzählbar unendlich viele Gläser handeln, da 1 Glas die kleinstmögliche Einheit ist.
Zwei Fälle haben wir nun schon betrachtet, folgt jetzt der dritte und letzte mögliche Fall quantitativer und stetiger Merkmalswerte.
Wählen wir im Folgenden also noch ein Beispiel, dass quantitative und stetige Merkmalswerte aufweist.

Wir werden den "Betrag der Restaurantrechnung unserer 50 Gäste in Euro" betrachten.
Moment mal, sind "Geldbeträge" ein stetiges Merkmal?
Genau genommen nicht, denn man könnte meinen, dass die kleinste Einheit "1 Cent" ist und es sich deshalb um ein - immer abzählbares, also ein "diskretes" Merkmal handelt.
In der Praxis werden Geldbeträge auf Grund ihrer hohen Anzahl möglicher Werte jedoch wie ein stetiges Merkmal behandelt.
So werden auch wir es im folgenden Beispiel tun.
Wir stellen wie gewohnt eine Häufigkeitstabelle, diesmal für die "Rechnungsbeträge" der 50 Gäste auf.

Was ist neu?
In der linken Spalte steht jetzt nicht mehr jeder einzelne "Merkmalswert" für sich, wie es bei der Anzahl der getrunkenen Weingläser der Fall war, sondern eine "Klasseneinteilung".
"Stetige" Merkmale können nämlich so viele Werte aufweisen, dass wir nicht für jeden Wert - hier z.B. für jeden möglichen Rechnungsbetrag in Euro und Cent eine einzelne Zeile einfügen können.
Also haben wir die Daten "klassiert", können aber nun nicht mehr den genauen Rechnungsbetrag eines Gastes ablesen, sondern z.B. nur noch, dass der Rechnungsbetrag von 16 Gästen irgendwo zwischen 10 und 20 Euro lag.

Klassierte Daten kann man gut in einem "Histogramm" darstellen. Du siehst, dass die Balken so breit, wie die Klassen und so hoch, wie die relativen Häufigkeiten dargestellt sind.

Was machen wir, wenn wir nun aber folgendes wissen möchten: "Wie viel Prozent der Gäste hatten eine Rechnung unter 12 Euro?"
Wir könnten schätzen, dass der Wert irgendwo zwischen 16 und 48 Prozent liegt, weil dies in unserer Tabelle steht.
Mit einem einfachen statistischen Trick können wir es aber auch ziemlich genau ausrechnen.

Wir nehmen die 16 Prozent der Klasse darunter, addieren die relative Häufigkeit der Klasse - in der sich unsere 12 Euro irgendwo befinden -
dazu und multiplizieren diese mit 12 - unserem gesuchten Merkmal - minus der unteren Klassengrenze, also 10, dividiert durch die Klassenbreite, die hier 10 € beträgt.
Das Ergebnis ist "22,4 Prozent unserer Gäste hatten eine Rechnung unter 12 Euro".

Ok, weil wir jetzt gar nicht mehr wissen, welche Zahl soeben was bedeutete, betrachten wir mal die allgemeingültige Formel dieser Berechnung.

"F von xa" sieht kompliziert aus, heißt aber nichts anderes, als "Funktionswert für den Merkmalswert xa".
Einfacher ausgedrückt z.B. "Anteil der Gäste mit einem Rechnungsbetrag von bis zu 12 Euro".
Für "F von X i u" haben wir eben 0,16 geschrieben - das war die "kumulierte relative Häufigkeit" der Klasse "darunter".
Der nächste Term ist uns bekannt, er ist die "relative Häufigkeit".
Ãœberm Bruchstrich steht unser gefragter Merkmalswert "x a" minus der "unteren Klassengrenze", geteilt durch die "Klassenbreite"

Eben wollten wir wissen "Wie viel Prozent der Gäste hatten eine Rechnung unter 12 Euro?".
Umgekehrt könnte die Frage auch so lauten: "Wie hoch war der Rechnungsbetrag für die unteren 22,4 Prozent der Gäste? Nun gut, wir haben es eben berechnet: Für die unteren 22,4 Prozent der Gäste betrug dieser "12 Euro".
Hätten wir es nicht vorher berechnet, könnten wir es mit Hilfe dieser, relativ ähnlich aussehenden Formel berechnen.
Anstelle des "F von x a", steht hier nur "x a". Wir wollen ja nun nicht mehr den "Funktionswert", also eine Prozentzahl herausbekommen, sondern einen "Merkmalswert", hier z.B. einen konkreten Rechnungsbetrag in Euro.

Genau so kannst du es dir auch ganz einfach merken. Die erste Formel verwendest du immer, wenn nach einem "Anteil", also einer Prozentzahl gesucht wird und die zweite, wenn du einen bestimmten Merkmalswert suchst.

Das, was wir mit der zweiten Formel berechnet haben, war statistisch ausgedrückt ein "Quantil", nämlich das 22,4-Prozent-Quantil.